Question

（2013•崇明县二模）设函数 f(x)=

2x      (x≤0) log2x (x＞0)

，函数y=f[f（x）]-1的零点个数为

2

．

Answer 1

分析：根据函数 f(x)=

2x      (x≤0) log2x (x＞0)

，根据指数函数和对数函数的性质，我们可以分类讨论，化简函数函数y=f[f（x）]-1的解析式，进而构造方程求出函数的零点，得到答案．

解答：解：∵函数 f(x)=

2x      (x≤0) log2x (x＞0)

，
当x≤0时
y=f[f（x）]-1=f（2^x）-1=log22x-1=x-1
令y=f[f（x）]-1=0，x=1（舍去）
当0＜x≤1时
y=f[f（x）]-1=f（log₂x）-1=2log2x-1=x-1
令y=f[f（x）]-1=0，x=1
当x＞1时
y=f[f（x）]-1=f（log₂x）-1=log₂（log₂x）-1
令y=f[f（x）]-1=0，log₂（log₂x）=1
则log₂x=2，x=4
故函数y=f[f（x）]-1的零点个数为2个
故答案为：2

点评：本题考查的知识点是函数的零点，根的存在性及根的个数判断，其中根据指数函数和对数函数的图象和性质，化简函数的解析式是解答的关键．