Question

（2008•海珠区一模）设函数f（x）=x³+sinx，若0≤θ≤

π

2

时，f（mcosθ）+f（1-m）＞0恒成立，则实数m的取值范围是（　　）

• A．（0，1]
• B．（-∞，1）
• C．（-∞，1]
• D．(0，

  1

  2

  )

Answer 1

分析：由于f（x）=x³+sinx，0≤θ≤

π

2

，可求得f′（x）=3x²+cosx＞0，可知f（x）为奇函数，增函数，然后可得f（mcosθ）＞f（m-1），从而得出mcosθ＞m-1，根据cosθ∈[0，1]，即可求解．

解答：解：由函数f（x）=）=x³+sinx，可知f（x）为奇函数，f′（x）=3x²+cosx，
又当-1≤x≤1时，cosx＞0，x²＞0，
∴f′（x）=3x²+cosx＞0，
当x＜-1或x＞1时，x²＞1，
∴f′（x）=3x²+cosx＞0，
综上所述，对任意x∈R，f′（x）=3x²+cosx＞0
∴f（x）=）=x³+sinx是增函数；
∵f（mcosθ）+f（1-m）＞0恒成立，即f（mcosθ）＞f（m-1）恒成立，
∴mcosθ＞m-1，令g（m）=（cosθ-1）m+1，
当0≤θ≤

π

2

，mcosθ＞m-1恒成立，等价于g（m）=（cosθ-1）m+1＞0恒成立．
∵0≤θ≤

π

2

，
∴cosθ∈[0，1]，
∴cosθ-1≤0，
∴当θ=0时，（cos0-1）m+1＞0恒成立，①
当θ=

π

2

时，（cos

π

2

-1）m+1＞0恒成立，②
由①②得：m＜1．
故选B．

点评：本题考查了函数恒成立的问题，难点在于对函数f（x）=x³+sinx单调性的判断，需分类讨论，考查分类讨论思想、转化思想与构造函数的方法，属于难题．