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正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,点M在棱AB上,AM=,点P是平面ABCD内的动点,且点P到直线A1D1的距离与点P到M的距离的平方差为,则P点的轨迹是   
【答案】分析:以A为原点,AB、AA1分别为y轴、z轴,建立如图空间直角坐标系,得M(0,,0).设P(x,y,0),用空间两点的距离公式,结合题意列出关于x、y的方程,化简整理得抛物线方程:x2=y,即得本题的答案.
解答:解:以A为原点,AB、AA1分别为y轴、z轴,建立如图空间直角坐标系
则M(0,,0),设P(x,y,0),
设PR⊥A1D1于R,则PR是点P到直线A1D1的距离
PR2=y2+1,PM2=x2+(y-2
由题意,得PR2-PM2=y2+1-[x2+(y-2]=
化简,得x2=y,
故P的轨迹是以A为顶点,AB为轴的抛物线
故答案为:抛物线
点评:本题在正方体中给出动点到定直线距离与到定点距离平方差为定值,着重考查了空间两点间的距离公式和曲线与方程等知识,属于中档题.
练习册系列答案
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GP
GH
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