Question

已知数列{a_n}满足：a_n=2a_n-1+2ⁿ-1（n∈N⁺，n≥2）且a₄=65．
（1）求数列{a_n}的前三项；
（2）是否存在一个实数λ，使数列{

an+λ

2n

}为等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由；
（3）在（2）的条件下，求数列{a_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（1）由数列{a_n}满足：a_n=2a_n-1+2ⁿ-1（n∈N⁺，n≥2）且a₄=65．分别令n=4，3，2即可解得；
（2））由已知an=2an-1+2n-1，变形为

an-1

2n

=

an-1-1

2n-1

+1，可知取λ=-1时，{

an+λ

2n

}成等差数列．
（3）由（2）利用等差数列的通项公式可得an=n•2n+1，再利用“错位相减法”即可得出数列{a_n}的前n项和S_n．

解答：解：（1）由数列{a_n}满足：a_n=2a_n-1+2ⁿ-1（n∈N⁺，n≥2）且a₄=65．令n=4，可得a4=2a3+24-1，即65=2a₃+15，解得a₃=25．
令n=3，可得25=2a2+23-1，解得a₂=9．
令n=2，可得9=2a1+22-1，解得a₁=3．
∴a₃=25，a₂=9，a₁=3．
（2）∵an=2an-1+2n-1，
∴

an

2n

=

an-1

2n-1

+1-

1

2n

，
∴

an-1

2n

=

an-1-1

2n-1

+1，
∴λ=-1时，{

an+λ

2n

}成等差数列．
（3）由（2）可得：

an-1

2n

=

3-1

2

+(n-1)=n，
∴an=n•2n+1，
∴Sn=1•2+2•22+3•23+…+n•2n+n
令 Tn=1•2+2•22+3•23+…+n•2n
则2Tn=1•22+2•23+…+(n-1)2n+n•2n+1，
∴-Tn=2+22+23+…+2n-n•2n+1=2ⁿ⁺¹-2-n•2ⁿ⁺¹=（1-n）2ⁿ⁺¹-2，
∴Tn=(n-1)2n+1+2Sn=(n-1)2n+1+n+2

点评：本题考查了变形转化为等差数列的数列的求和问题、等差数列的通项公式、等比数列的前n项和公式、“错位相减法”等基础知识与基本技能方法，属于难题．