Question

20．已知函数f（x）=$\frac{-{2}^{x}+a}{{2}^{x+1}+b}$（a＞0，b＞0）为奇函数．
（1）求a与b的值；
（2）判断并用定义证明函数f（x）的单调性，再求不等式f（x）＞-$\frac{1}{6}$的解集．

Answer 1

分析 （1）根据题意，由于函数f（x）是奇函数，结合函数奇偶性的性质可得-$\frac{-{2}^{x}+a}{{2}^{x+1}+b}$=$\frac{-{2}^{-x}+a}{{2}^{-x+1}+b}$，对定义域内任意实数x都成立，对其变形可得（2a-b）-2^2x+（2ab-4）•2^x+（2a-b）=0对定义域内任意实数都成立，进而分析可得$\left\{\begin{array}{l}{2a-b=0}\\{2ab-4=0}\end{array}\right.$，解并检验可得a、b的值，
（2）由（1）可得a、b的值，即可得函数f（x）的解析式，利用定义法证明可得f（x）为R上的减函数；进而分析可得f（1）=-$\frac{1}{6}$，结合题意，可以将f（x）＞-$\frac{1}{6}$转化为f（x）＞f（1），由函数的单调性分析可得答案．

解答 解：（1）根据题意，由函数f（x）是奇函数，得f（-x）=-f（x），
即-$\frac{-{2}^{x}+a}{{2}^{x+1}+b}$=$\frac{-{2}^{-x}+a}{{2}^{-x+1}+b}$，对定义域内任意实数x都成立，
整理得（2a-b）-2^2x+（2ab-4）•2^x+（2a-b）=0对定义域内任意实数都成立，
即有$\left\{\begin{array}{l}{2a-b=0}\\{2ab-4=0}\end{array}\right.$，
解可得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=-2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=2}\end{array}\right.$，
经检验$\left\{\begin{array}{l}a=1\\ b=2\end{array}\right.$符合题意．
（2）由（1）可知，f（x）=$\frac{-{2}^{x}+1}{{2}^{x+1}+1}$=$\frac{1}{2}$（-1+$\frac{2}{{2}^{x}+1}$），
易判断f（x）为R上的减函数．
证明如下：设任意的实数x₁、x₂且满足x₁＜x₂，
f（x₁）-f（x₂）=$\frac{1}{2}$（$\frac{2}{{2}^{{x}_{1}}+1}$-$\frac{2}{{2}^{{x}_{2}}+1}$）=$\frac{{2}^{{x}_{2}}-{2}^{{x}_{1}}}{（{2}^{{x}_{1}}+1）（{2}^{{x}_{2}}+1）}$，
又由y=2^x在R上递增且函数值大于0，
则有f（x₁）-f（x₂）＞0，
则函数f（x）在R是的减函数；
对于f（x）=$\frac{-{2}^{x}+1}{{2}^{x+1}+1}$=$\frac{1}{2}$（-1+$\frac{2}{{2}^{x}+1}$），有f（1）=-$\frac{1}{6}$，
f（x）＞-$\frac{1}{6}$，即f（x）＞f（1），
又由函数为减函数，
则必有x＜1，
即不等式f（x）＞-$\frac{1}{6}$的解集为{x|x＜1}．

点评 本题考查函数单调性的判定与应用，涉及函数奇偶性的应用，（2）的关键是求出f（1）=-$\frac{1}{6}$．