Question

【题目】设椭圆中心在坐标原点，是它的两个顶点，直线与AB相交于点D，与椭圆相交于E、F两点．

（Ⅰ）若，求的值；

（Ⅱ）求四边形面积的最大值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）解：依题设得椭圆的方程为，

直线的方程分别为，．············ 2分

如图，设，其中，

且满足方程，故．①

由知，得；

由在上知，得．所以，

化简得，解得或．················ 6分

（Ⅱ）根据点到直线的距离公式和①式知，点到的距离分别为，

．9分

又，所以四边形的面积为

，

当，即当时，上式取等号．所以的最大值为．

【解析】

试题（Ⅰ）由题意易得椭圆方程，直线的方程，再设，满足方程，把用坐标表示出来得，又点在直线上，则，根据以上关系式可解得的值；（Ⅱ）先求点E、F到AB的距离，再求，则可得面积，然后利用不等式求面积的最大值.

试题解析：（I）依题意，得椭圆的方程为， 1分

直线的方程分别为， 2分

如图设，其中，

满足方程且故，

由知，得， 4分

由点在直线上知，得， 5分

，化简得解得或. 7分

（II）根据点到直线的距离公式和①式知，点E、F到AB的距离分别为

， 8分

， 9分

又，所以四边形AEBF的面积为

， 11分

当即当时，上式取等号，所以S的最大值为13分