Question

（2009•台州二模）已知向量

a

，

b

，

c

满足|

a

|=1，|

a

-

b

|=|

b

|，(

a

-

c

)•(

b

-

c

)=0．若对每一确定的

b

，|

c

|的最大值和最小值分别为m，n，则对任意

b

，m-n的最小值是（　　）

• A．

  1

  4

• B．

  1

  2

• C．

  3

  4

• D．1

Answer 1

分析：法一：可以先把向量

a

，

b

，

c

放入平面直角坐标系，则

α

=（x₁，0），

b

=（

1

2

，y₁），再用

α

，

b

的坐标表示

c

的坐标，利用(

a

-

c

)•(

b

-

c

)=0，可转化为含y₁的式子，再看y₁等于多少时，m-n有最小值即可．
法二：我们分别令 |

α

|=1，

OB

=

b

，

OC

=

c

，根据由已知中，向量

a

，

b

，

c

满足|

a

|=1，|

a

-

b

|=|

b

|，(

a

-

c

)•(

b

-

c

)=0．可判断出A，B，C三点的位置关系，及m-n的几何意义，进而得到答案．

解答：解：法一：把

α

放入平面直角坐标系，使

α

起点与坐标原点重合，方向与x轴正方向一致，则

α

=（1，0）
设

β

=（x₁，y₁），∵|

α

-

β

|=|

β

|，∴x1=

1

2

，∴

β

=（

1

2

，y₁）
设

γ

=（x，y），则

α

-

γ

=（1-x，-y），

β

-

γ

=（

1

2

-x，y₁-y）
∵（

α

-

γ

）•（

β

-

γ

）=0．∴（1-x）（

1

2

-x）-y（y₁-y）=0
化简得，x²+y²-

3

2

x-y₁y+

1

2

=0，也即 (x-

3

4

)2+(y-

y1

2

)2=

y12+ 1 4

2

点（x，y）可表示圆心在（

3

4

，

y1

2

），半径为

y12+ 1 4

2

的圆上的点，
|

γ

|=

x2+y2

，∴|

γ

|最大m=

( 3 4 )2+( y1 2 )2

+

y12+ 1 4

2

，最小值n=

( 3 4 )2+( y1 2 )2

-

y12+ 1 4

2

．
∴m-n=

( 3 4 )2+( y1 2 )2

+

y12+ 1 4

2

-（

( 3 4 )2+( y1 2 )2

-

y12+ 1 4

2

）=

y12+ 1 4

当y₁²=0时，m-n有最小值为

1

2

，
法二：解：∵|

α

|=1，
∴令

OA

=

α

则A必在单位圆上，
又∵又向量

β

满足 |

α

-

β

|=|

β

|，
∴令

OB

=

β

则点B必在线段OA的中垂线上，

OC

=

γ

．
又∵(

α

-

γ

)•(

β

-

γ

)=0
故C点在以线段AB为直径的圆M上，任取一点C，记

OC

=

γ

．
故m-n就是圆M的直径|AB|
显然，当点B在线段OA的中点时，（m-n）取最小值

1

2

即（m-n）_min=

1

2

故选B．

点评：本题考查的知识点是两向量的和与差的模的最值，及向量加减法的几何意义，其中根据已知条件，判断出A，B，C三点的位置关系，及m-n的几何意义，是解答本题的关键．