Question

（2009•台州二模）一袋子中有大小、质量均相同的10个小球，其中标记“开”字的小球有5个，标记“心”字的小球有3个，标记“乐”字的小球有2个．从中任意摸出1个球确定标记后放回袋中，再从中任取1个球．不断重复以上操作，最多取3次，并规定若取出“乐”字球，则停止摸球．
求：（Ⅰ）恰好摸到2个“心”字球的概率；
（Ⅱ）摸球次数X的概率分布列和数学期望．

Answer 1

分析：（Ⅰ）恰好摸到两个“心”字球的取法共有4种情形：开心心，心开心，心心开，心心乐．由此能求出恰好摸到2个“心”字球的概率．
（Ⅱ）由题设知X=1，2，3，分别求出P（X=1），P（X=2），P（X=3）的值，由此能求出取球次数X的分布列和EX．

解答：（Ⅰ）解：恰好摸到两个“心”字球的取法共有4种情形：
开心心，心开心，心心开，心心乐．
则恰好摸到2个“心”字球的概率：
P=

5

10

×

3

10

×

3

10

×3+

3

10

×

3

10

×

2

10

=

153

1000

．…（6分）
（Ⅱ）解：X=1，2，3，
则 P(X=1)=

C 1 2

C 1 10

=

1

5

，
P(X=2)=

C 1 8

C 1 10

•

C 1 2

C 1 10

=

4

25

，
P(X=3)=1-P(X=1)-P(X=2)=

16

25

．…（10分）
故取球次数X的分布列为

X	1	2	3
P	1 5	4 25	16 25

EX=

1

5

×1+

4

25

×2+

16

25

×3=

61

25

．…（14分）

点评：本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望，考查学生的运算能力，考查学生探究研究问题的能力，解题时要认真审题，理解古典概型的特征：试验结果的有限性和每一个试验结果出现的等可能性，体现了化归的重要思想．