Question

已知函数f（x）=x²|x-a|-a，其中a＞0
（1）当a=2时，求f（x）在（-∞，2）上的单调区间；
（2）讨论f（x）的零点个数．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,根的存在性及根的个数判断

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（1）a=2时求出f′（x），然后在定义域内解不等式f′（x）＜0，f′（x）＞0即可；
（2）先去掉绝对值符号，x≥a时，由导数易判断零点个数；x＜a时，通过单调性及讨论极值符号可得零点个数；

解答： 解：（1）当a=2时，x＜2，f（x）=-x³+2x²-2，f′（x）=-x（3x-4），
由f′（x）＜0，得x＜0或

4

3

＜x＜2；由f′（x）＞0得0＜x＜

4

3

．
故 f（x）在（-∞，0）和（

4

3

，2）上单调递减，在（0，

4

3

）上单调递增；
（2）f（x）=

x3-ax2-a，x≥a -x3+ax2-a，x＜a

，
当x≥a时，f′（x）=x（3x-2a），得f（x）在（a，+∞）上单调递增，且f（a）=-a＜0，
故当x≥a时有一个零点；
当x＜a时，f′（x）=-x（3x-2a），得f（x）在（-∞，0）上单调递减，在（0，

2a

3

）上单调递增，在（

2a

3

，a）上单调递减，
∵f（0）=-a＜0，∴f（x）在（-∞，0）上有一个零点；
而f（

2a

3

）=

4a(a2- 27 4 )

27

，
∴当a＞

3 3

2

时，f（x）在（0，a）上有两个零点；
当a=

3 3

2

时，f（x）在（0，a）上有一个零点；
当0＜a＜

3 3

2

时，f（x）在（0，a）上无零点；
综上，当a＞

3 3

2

时，f（x）有四个零点；当a=

3 3

2

时，f（x）有三个零点；当0＜a＜

3 3

2

时，f（x）有两个零点．

点评：该题考查利用导数研究函数的单调性、函数的零点，考查分类讨论思想，运用数形结合可使问题更加直观．