Question

【题目】如图, 与都是正三角形, , .

（Ⅰ）求证： ;

（Ⅱ）若,试求的值,使直线与所成角的正弦值为;

（Ⅲ）若,试写出三棱锥与三棱锥的体积比.（不要求写求解过程）

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ） ；（Ⅲ）

【解析】试题分析：（Ⅰ）取的中点，连接、，利用面面垂直的性质和线面垂直的判定定理，得平面，进而得到平面；

（Ⅱ）以的方向为轴正方向,以的方向为轴正方向,以的方向为轴正方向建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量和向量的坐标，利用向量的夹角公式，即可得到直线与平面所成角的正弦值；

（Ⅲ）利用三棱锥的体积公式，即可求解体积比．

试题解析：

（Ⅰ）证明:取的中点,连接、

因为, , ,

所以,

所以,

因为, ,所以.

（Ⅱ）以的方向为轴正方向,以的方向为轴正方向,以的方向为轴正方向建立空间直角坐标系,

设,则点, , , .

设为的法向量,且,

则,

又因为,

所以,令解得,

又因为

所以

解得,则

（Ⅲ）