Question

选修4-4：坐标系与参数方程
从极点O作射线，交直线ρcosθ=3于点M，P为射线OM上的点，且|OM|•|OP|=12，若有且只有一个点P在直线ρsinθ-ρcosθ=m，求实数m的值．

Answer 1

【答案】分析：设P（ρ，θ），由条件|OM|•|OP|=12，可求出点M的坐标，由于点M在直线ρ^′cosθ=3上，可将点M的坐标代入得出点P的极坐标方程，进而化为直角坐标系的方程，知道点P的轨迹是一个圆且去掉x轴上的两点．因为有且只有一个点P在直线
ρsinθ-ρcosθ=m上，故直线与圆相切，或直线经过原点，据此可求实数m的值．
解答：解：设P（ρ，θ），则由|OM||OP|=12得|OM|=，∴，由于点M在直线ρ^′cosθ=3上，∴．
即ρ=4cosθ（ρ≠0）．
∴ρ²=4ρcosθ，化为平面直角坐标系的方程为x²+y²=4x，即（x-2）²+y²=4（x≠0）．
直线ρsinθ-ρcosθ=m化为平面直角坐标系的方程为y-x-m=0，
因为有且只有一个点P在直线y-x-m=0上，所以y-x-m=0和（x-2）²+y²=4（x≠0）相切，
∴=2，解得m=-2±．
或直线l过原点时也满足条件，此时m=0．
总上可知：m的取值是-2±，或0．
点评：本题考查了极坐标系下直线与圆的交点问题，将极坐标化为直角坐标系的方程是解决此问题常用的方法．