Question

数列{a_n}各项均为正数，s_n为其前n项的和，对于n∈N^*，总有a_n，s_n，a_n²成等差数列．
（1）数列{a_n}的通项公式；
（2）设数列{

1

an

}的前n项的和为T_n，数列{T_n}的前n项的和为R_n，求证：当n≥2时，R_n-1=n（T_n-1）
（3）设A_n为数列{

2an-1

2an

}的前n项积，是否存在实数a，使得不等式A_n

2an+1

＜a对一切n∈N⁺都成立？若存在，求出a的取值范围，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：第1问主要利用等差中项得出S_n与a_n的关系式，在利用an =

S1            n=1 Sn-Sn-1    n≥2

可求出a_n．第2问就是要用数学归纳法证明，先验证：n=2时等式成立，再假设 n=k时等式成立，推n=k+1时成立，其中有要利用好假设条件和R_k=R_k-1+T_k就可证出．第3问写出A_n的表达式后，构造g(n)=An

2an+1

这个关于正整数n的函数，因为A_n是一个n项的乘积，所以采用作商的方法判断出g（n）的单调性，从而使不等式得到证明．

解答：解：（1）由已知有2S_n=a_n+a_n²．
当n=1时，2a₁=a₁+a₁²?a₁=1，
当n≥2时，2S_n-1=a_n-1+a_n-1²，∴2S_n=a_n+a_n²，
两式相减有：2a_n=a_n-a_n-1+a_n²-a_n-1²，
即a_n-a_n-1=1．
所以a_n=n．
（2）由（1）得Tn=1+

1

2

+

1

3

++

1

n

，R_n=T₁+T₂+T₃+…+T_n．
当n=2时，R_n-1=R₁=T₁=1，n（T₂-1）=1，
故当n=2时命题成立．
假设n=k时成立，即R_k-1=k（T_k-1），则当n=k+1时，Rk=Rk-1+Tk=k(Tk-1)+Tk=(k+1)Tk-k=(k+1)(Tk-

k

k+1

)=(k+1)(Tk+

1

k+1

-1)=(k+1)(Tk+1-1)，
说明当n=k+1时命题也成立．
（3）据已知An=(1-

1

2a1

)(1-

1

2a2

)…(1-

1

2an

)，则：g(n)=An

2n+1

=

2n+1

(1-

1

2a1

)(1-

1

2a2

)…(1-

1

2an

)，

g(n+1)

g(n)

=(1-

1

2an+1

)

2n+3

2n+1

=

(2n+1) 2n+3

(2n+2) 2n+1

＜1
故g（n）单调递减，于是[g(n)]max=g(l)=

3

2

要使不等式An

2an+1

＜a对一切n∈N⁺都成立只需a＞

3

2

即可．

点评：本题的第1问比较简单，主要考查了an =

S1            n=1 Sn-Sn-1    n≥2

这个知识点．第2问主要考查了数学归纳法证明，关键在于 n=k+1时的推导过程要利用好假设条件和题的条件，运算的技巧性较强．第3问是本题的难点所在，因为常规判断单调性的方法是作差，作商比较少用，但是由本题的特点所决定，这一点需要一定的思维量．