Question

11．已知△ABC的外心为O，重心为G，且2|AB|+|AC|=6，则$\overrightarrow{AO}$•$\overrightarrow{AG}$的取值范围是[$\frac{6}{5}，6$）．

Answer 1

分析 由题意画出图形，求出$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AO}=|\overrightarrow{AB}|•|\overrightarrow{AO}|•\frac{1}{2}\frac{|\overrightarrow{AB}|}{|\overrightarrow{AO}|}=\frac{1}{2}|\overrightarrow{AB}{|}^{2}$，$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AO}=\frac{1}{2}|\overrightarrow{AC}{|}^{2}$，再由重心的性质把$\overrightarrow{AG}$用$\overrightarrow{AB}、\overrightarrow{AC}$表示，展开$\overrightarrow{AO}$•$\overrightarrow{AG}$，结合2|AB|+|AC|=6化为关于|$\overrightarrow{AB}$|的二次函数，则答案可求．

解答 解：如图，过点O分别作OF⊥AB于F，OH⊥AC于H，则F、H分别是AB、AC的中点，
可得Rt△AFO中，cos∠OAF=$\frac{|\overrightarrow{AF}|}{|\overrightarrow{AO}|}$=$\frac{1}{2}\frac{|\overrightarrow{AB}|}{|\overrightarrow{AO}|}$，
∴$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AO}=|\overrightarrow{AB}|•|\overrightarrow{AO}|•\frac{1}{2}\frac{|\overrightarrow{AB}|}{|\overrightarrow{AO}|}=\frac{1}{2}|\overrightarrow{AB}{|}^{2}$，
同理可得$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AO}=\frac{1}{2}|\overrightarrow{AC}{|}^{2}$，
∵G为△ABC的重心，∴$\overrightarrow{AG}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AD}=\frac{2}{3}×\frac{1}{2}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）=\frac{1}{3}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）$，
∴$\overrightarrow{AO}$•$\overrightarrow{AG}$=$\overrightarrow{AO}•\frac{1}{3}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）=\frac{1}{3}（\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AO}）$=$\frac{1}{6}（|\overrightarrow{AB}{|}^{2}+|\overrightarrow{AC}{|}^{2}）$，
∵2|AB|+|AC|=6，∴0＜$|\overrightarrow{AB}|＜3$，且|$\overrightarrow{AC}$|=6-2|$\overrightarrow{AB}$|，
则$\overrightarrow{AO}$•$\overrightarrow{AG}$=$\frac{1}{6}（|\overrightarrow{AB}{|}^{2}+36-24|\overrightarrow{AB}|+4|\overrightarrow{AB}{|}^{2}）$=$\frac{1}{6}（5|\overrightarrow{AB}{|}^{2}-24|\overrightarrow{AB}|+36）$．
∵0＜$|\overrightarrow{AB}|＜3$，
∴当|$\overrightarrow{AB}$|=$\frac{12}{5}$时，$（\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{AG}）_{min}=\frac{24}{5}$；当|$\overrightarrow{AB}$|→0时，$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{AG}$→6．
∴$\overrightarrow{AO}$•$\overrightarrow{AG}$的取值范围是[$\frac{6}{5}，6$）．
故答案为：[$\frac{6}{5}，6$）．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，着重考查了平面向量的数量积的运算性质和三角形外心、重心等知识，考查数学转化思想方法，训练了二次函数最值的求法，属于中档题．