Question

14．四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，且PA⊥平面ABCD，PA=AB，则直线PB与直线AC所成角的大小为（　　）

• A． $\frac{π}{6}$
• B． $\frac{π}{4}$
• C． $\frac{π}{3}$
• D． $\frac{π}{2}$

Answer 1

分析 连接BD，与AC交于O点，取PD的中点E，连接OE，AE．运用中位线定理，可得∠AOE即为直线PB与直线AC所成角．运用线面垂直的性质和勾股定理，解三角形AOE，即可得到所求值．

解答 解：连接BD，与AC交于O点，取PD的中点E，连接OE，AE．
由中位线定理，可得OE∥PB，且OE=$\frac{1}{2}$PB，
即有∠AOE即为直线PB与直线AC所成角．
由PA⊥平面ABCD，设PA=AB=a，
可得直角三角形PAB中，PB=$\sqrt{2}$a，
OE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，
在等腰直角三角形PAD中，AE=$\frac{1}{2}$PD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，
在正方形ABCD中，AO=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，
则△AOE为等边三角形，
可得∠AOE=$\frac{π}{3}$．
故选：C．

点评 本题考查空间异面直线所成角的求法，注意运用三角形的中位线定理和解三角形的知识，考查线面垂直的性质和勾股定理的运用，属于基础题．