.(本小题满分14分) 如图7.在直三棱柱中..分别是的中点.是的中点. (1)求证:;(2)求三棱锥的体积;(3)求二面角的余弦值. 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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.(本小题满分14分）

如图7，在直三棱柱中，，分别是的中点，是的中点.

(1)求证:;(2)求三棱锥的体积;(3)求二面角的余弦值.

【答案】

解:(1)证明:

证法一:在直三棱柱中,平面,平面

分别是的中点，

……1分

在中,

易证

在中,

同理可得

为等边三角形, ……2分

又是的中点, ……3分

……4分

……5分

证法二:以为原点，、、分别为轴、轴、轴的正方向，的长度为单位长度建立空间直角坐标系. ……1分

由题设知点的坐标分别为.

,,……2分

,……3分

……4分

……5分

(2)解法一：取的中点，连

又

平面……6分

……7分

……8分

……9分

解法二：取的中点，连

又

……6分

三棱锥的体积为

……7分

……8分

=……9分

解法三：易知与是全等的边长为的等边三角形

等腰三角形的底边上的高为

三角形的面积为……6分

由（1）知

三棱锥的体积为

……7分

……8分

……9分

（3）解法一：由

（2）解法一、二易知平面，过F作于H,连接HE

是的中点，

平面HEF，平面HEF

平面，平面

即是所求二面角的平面角. ……11分

在中,

……13分

二面角的余弦值是.……14分

解法二: 以为原点，、、分别为轴、轴、轴的正方向，的长度为单位长度建立空间直角坐标系. ……10分

由题设知点的坐标分别为.

,,……11分

设平面的法向量为

,取,得.……12分

……13分

结合图象知二面角的余弦值是.……14分

【解析】略

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