Question

以下四个关于圆锥曲线的命题中：
①设A、B为两个定点，k为非零常数，|

PA

|-|

PB

|=k，则动点P的轨迹为双曲线；
②过定圆C上一定点A作圆的动点弦AB，O为坐标原点，若

OP

=

1

2

(

OA

+

OB

)，则动点P的轨迹为椭圆；
③方程2x²-5x+2=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；
④双曲线

x2

35

-y2=1和椭圆

x2

25

+

y2

9

=1有相同的焦点．
其中真命题的序号为

③

（写出所有真命题的序号）

Answer 1

分析：根据双曲线的定义是到两定点的距离之差的绝对值为常数（小于两定点之间距离）的点的轨迹．焦点在x轴的椭圆、双曲线的标准方程分别是

x2

a2

+

y2

b2

=1，

x2

a2

-

y2

b2

=1，半焦距C，分别是c²=a²+b²，c²=a²-b²，离心率e 范围分别是0＜e＜1，e＞1．

解答：解：根据双曲线的定义，有绝对值，且k的范围是k＜|AB|，∴①×；
∵

OP

=

1

2

（

OA

+

OB

），∴P为弦AB的中点，不妨在单位圆x²+y²=1中，定点A（1，0），动点B（x₁，y₁），设P（x，y），用代入法求得P的轨迹方程是(x-

1

2

)2+y²=

1

4

，
∴点P的轨迹为圆，∴②×；
∵2x²-5x+2=0的两根是2，

1

2

，椭圆的离心率范围是（0，1），双曲线的离心率范围是（1，∞）∴③√．
∵④中双曲线的焦点是（±6，0），椭圆的焦点（±4，0），∴④×．
故答案是③

点评：准确掌握圆锥曲线定义中的条件，性质．