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以下四个关于圆锥曲线的命题中:
①双曲线
x2
16
-
y2
9
=1
与椭圆
x2
49
+
y2
24
=1
有相同的焦点;
②在平面内,设A、B为两个定点,P为动点,且|PA|+|PB|=k,其中常数k为正实数,则动点P的轨迹为椭圆;
③方程2x2-3x+1=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率;
④过双曲线x2-
y2
2
=1
的右焦点F作直线l交双曲线于A、B两点,若|AB|=4,则这样的直线l有且仅有3条.
其中真命题的序号为
①④
①④
(写出所有真命题的序号).
分析:根据双曲线、椭圆标准方程判断①;
根据定义判断②;
根据离心率的范围判断③;
根据直线与双曲线有两个交点.有与右支两个交点和左、右各一个交点两种情况,
利用通径长判断直线的条数即可.
解答:解:根据双曲线与椭圆的标准方程,双曲线与椭圆的焦点坐标都是(±5,0),①正确;
根据椭圆的定义,当k>|AB|时是椭圆,∴②不正确;
解方程2x2-3x+1=0得两根分别是
1
2
,1,根据双曲线的离心率大于1,∴③不正确;
∵过右焦点垂直于x轴的直线与双曲线的右支的交点为(
3
,±2),|AB|=4,
∴与右支有两个交点时,直线只有一条;
∵2a=2,∴过右焦点与双曲线左、右支各一个交点时,满足|AB|=4,有两条直线k=±k1
∴④正确.
故答案是①④
点评:本题考查圆锥曲线的定义、标准方程、离心率及过焦点弦长问题.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

以下四个关于圆锥曲线的命题中
①设A、B为两个定点,k为非零常数,|
PA
|-|
PB
|=k,则动点P的轨迹为双曲线;
②设定圆C上一定点A作圆的动点弦AB,O为坐标原点,若
OP
=
1
2
OA
+
OB
),则动点P的轨迹为椭圆;
③方程2x2-5x+2=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率;
④双曲线
x2
25
-
y2
9
=1与椭圆
x2
35
+y2=1有相同的焦点.
其中真命题的序号为
 
(写出所有真命题的序号)

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科目:高中数学 来源: 题型:

以下四个关于圆锥曲线的命题中:
①设A、B为两个定点,k为非零常数,|
PA
|-|
PB
|=k
,则动点P的轨迹为双曲线;
②以定点A为焦点,定直线l为准线的椭圆(A不在l上)有无数多个;
③方程2x2-5x+2=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率;
④过原点O任做一直线,若与抛物线y2=3x,y2=7x分别交于A、B两点,则
OA
OB
为定值.
其中真命题的序号为
 
(写出所有真命题的序号)

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科目:高中数学 来源: 题型:

以下四个关于圆锥曲线的命题中:
①设A、B为两个定点,k为正常数,|
PA
|+|
PB
|=k
,则动点P的轨迹为椭圆;
②双曲线
x2
25
-
y2
9
=1
与椭圆
x2
35
+y2=1
有相同的焦点;
③方程2x2-5x+2=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率,则0<a<3;
④和定点A(5,0)及定直线l:x=
25
4
的距离之比为
5
4
的点的轨迹方程为
x2
16
-
y2
9
=1

其中真命题的序号为
 

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科目:高中数学 来源: 题型:

以下四个关于圆锥曲线的命题中:
①设A、B为两个定点,k为非零常数,|
PA
|-|
PB
|=k
,则动点P的轨迹为双曲线;
②过定圆C上一定点A作圆的动点弦AB,O为坐标原点,若
OP
=
1
2
(
OA
+
OB
)
,则动点P的轨迹为椭圆;
③方程2x2-5x+2=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率;
④双曲线
x2
35
-y2=1
和椭圆
x2
25
+
y2
9
=1
有相同的焦点.
其中真命题的序号为
(写出所有真命题的序号)

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