Question

已知2^x+2^-x=a（常数），求8^x+8^-x的值．

Answer 1

解：令2^x=t，则2^-x=t^-1，则t+t^-1=a．①
法一：由①两边平方得t²+t^-2=a²-2，
则8^x+8^-x=t³+t^-3=（t+t^-1）（t²-t•t^-1+t^-2）
=a（a²-3）=a³-3a．
法二：8^x+8^-x=t³+t^-3=（t+t^-1）[（t+t^-1）²-3t•t^-1]
=a（a²-3）=a³-3a．
分析：设2^x=t，代入所给的式子得t+t^-1=a：
法一：先把t+t^-1=a两边平方得，t²+t^-2的值，再利用指数的运算和立方和公式展开，寻找条件与所求的关系，再把式子的值整体代入求值；
法二：将所求的式子由立方和公式展开，再由完全平方公式化简，最后把式子的值整体代入求值．
点评：本题考查了完全平方公式，立方和公式，以及换元法和整体代换，关键是找条件与所求的关系．