Question

11．已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，P是AD₁中点，Q是BD中点，E是DD₁中点．（1）求证：PQ∥平面D₁DCC₁；
（2）求异面直线CE和DP所成角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）连接AC，CD₁，推导出PQ∥CD₁，由此能证明PQ∥平面D₁DCC₁．
（2）取A₁D₁中点F，连接FP，FE，FC，推导出四边形FPDE是平行四边形，从而∠FEC或其补角中的锐角或直角为异面直线CE和DP所成角，由此能求出异面直线CE和DP所成角的余弦值．

解答 证明：（1）连接AC，CD₁，
∵底面ABCD为正方形，Q是BD中点，
∴Q是AC中点，又P是AD₁中点，∴PQ∥CD₁，
∵CD₁?平面D₁DCC₁，PQ?平面D₁DCC₁，
∴PQ∥平面D₁DCC₁．
解：（2）取A₁D₁中点F，连接FP，FE，FC，
设正方体棱长为a．
∴FP$\underline{\underline{∥}}$$\frac{1}{2}A{A_{1，}}又E是D{D_1}中点$，∴$DE\underline{\underline{∥}}\frac{1}{2}A{A_1}$，∴$FP\underline{\underline{∥}}DE$．
故四边形FPDE是平行四边形，∴FE∥DP
∴∠FEC或其补角中的锐角或直角为异面直线CE和DP所成角．
在$△EFC中，FE=\frac{{\sqrt{2}}}{2}a，EC=\frac{{\sqrt{5}}}{2}a，FC\frac{3}{2}a$．
$cos∠FEC=\frac{{F{E^2}+E{C^2}-F{C^2}}}{2FE•EC}=-\frac{{\sqrt{10}}}{10}$
∴异面直线CE和DP所成角的余弦值为$\frac{{\sqrt{10}}}{10}$．

点评 本题考查线面平行的证明，考查异面直线所成角的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．