Question

（文）已知函数f(x)=2x-

1

2|x|

．
（1）若f（x）=2，求x的值；
（2）若2^tf（2t）+mf（t）≥0对于t∈[2，3]恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）当x≤0时得到f（x）=0而f（x）=2，所以无解；当x＞0时解出f（x）=2求出x即可；
（2）由 t∈[2，3]时，2^tf（2t）+mf（t）≥0对恒成立得到，得到f(t)=2t-

1

2t

，代入得到m的范围即可．

解答：解：（1）当x＜0时，f（x）=0；当x≥0时，f(x)=2x-

1

2x

．…（2分）
由条件可知 2x-

1

2x

=2，即 2^2x-2•2^x-1=0，
解得 2x=1±

2

．…（6分）∵2^x＞0，∴x=log2( 1+

2

 )．…（8分）
（2）当t∈[2，3]时，2t( 22t-

1

22t

 )+m( 2t-

1

2t

 )≥0，…（10分）
即 m（2^2t-1）≥-（2^4t-1）．∵2^2t-1＞0，∴m≥-（2^2t+1）．…（13分）∵t∈[2，3]，∴-（1+2^2t）∈[-65，-17]，
故m的取值范围是[-17，+∞）．…（16分）

点评：本题主要考查了函数恒成立问题．属于基础题．恒成立问题多需要转化，因为只有通过转化才能使恒成立问题等到简化；转化过程中往往包含着多种数学思想的综合运用，同时转化过程更提出了等价的意识和要求．