Question

（文）已知函数f(x)=

1

3

x3-

1

2

x2，其定义域为[-2，t]（t＞-2），设f（-2）=m，f（t）=n．
（Ⅰ）试确定t的取值范围，使得函数f（x）在[-2，t]上为单调函数；
（Ⅱ）试判断m，n的大小并说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）已知函数f(x)=

1

3

x3-

1

2

x2，求其导数f′（x），根据导数求其单调区间，从而确定t的范围；
（Ⅱ）由f（x）在（-∞，0），（1，+∞）上递增，在（0，1）上递减，所以f（x）在x=1处取得极小值，算出来，根据f（-2）=m，f（t）=n．进行判断；

解答：解：（Ⅰ）因为f′（x）=x（x-1）
由f′（x）＞0⇒x＞1或x＜0；
由f′（x）＜0⇒0＜x＜1，
所以f（x）在（-∞，0），（1，+∞）上递增，在（0，1）上递减
要使f（x）在[-2，t]上为单调函数，则-2＜t≤0
（Ⅱ）n＞m．
因为f（x）在（-∞，0），（1，+∞）上递增，
在（0，1）上递减，所以f（x）在x=1处取得极小值-

1

6

，
又f(-2)=-

5

3

＜-

1

6

，所以f（x）在[-2，+∞）上的最小值为f（-2）（8分）
从而当t＞-2时，f（-2）＜f（t），即m＜n

点评：此题主要考查利用导数求函数的极值及单调区间，此题的函数求导比较简单，注意单调区间的书写；