Question

（2012•吉林二模）已知圆C₁的圆心在坐标原点O，且恰好与直线l₁：x-y-2

2

=0相切．
（1）求圆的标准方程；
（2）设点A为圆上一动点，AN⊥x轴于N，若动点Q满足：

OQ

=m

OA

+(1-m)

ON

，（其中m为非零常数），试求动点Q的轨迹方程C₂；
（3）在（2）的结论下，当m=

3

2

时，得到曲线C，与l₁垂直的直线l与曲线C交于B、D两点，求△OBD面积的最大值．

Answer 1

分析：（1）设圆的半径为r，圆心到直线l₁距离为d，则d=

|-2 2 |

12+12

=2．由此能求出圆的方程．
（2）设动点Q（x，y），A（x₀，y₀），AN⊥x轴于N，N（x₀，0）由题意，（x，y）=m（x₀，y₀）+（1-m）（x₀，0），所以

x=x0 y=my0

，由此能求出动点Q的轨迹方程．
（3）m=

3

2

时，曲线C方程为

x2

4

+

y2

3

=1，设直线l的方程为y=-x+b．设直线l与椭圆

x2

4

+

y2

3

=1交点B（x₁，y₁），D（x₂，y₂），联立方程

y=-x+b 3x2+4y2=12

，得7x²-8bx+4b²-12=0．由此能求出△OBD面积的最大值．

解答：解：（1）设圆的半径为r，圆心到直线l₁距离为d，则d=

|-2 2 |

12+12

=2，2分
圆C₁的方程为x²+y²=4，2分
（2）设动点Q（x，y），A（x₀，y₀），AN⊥x轴于N，N（x₀，0）
由题意，（x，y）=m（x₀，y₀）+（1-m）（x₀，0），所以

x=x0 y=my0

，2分
即：

x0=x y0= 1 m y

，将A(x，

1

m

y)代入x²+y²=4，得

x2

4

+

y2

4m2

=1，3分
（3）m=

3

2

时，曲线C方程为

x2

4

+

y2

3

=1，设直线l的方程为y=-x+b
设直线l与椭圆

x2

4

+

y2

3

=1交点B（x₁，y₁），D（x₂，y₂）
联立方程

y=-x+b 3x2+4y2=12

得7x²-8bx+4b²-12=0，1分
因为△=48（7-b²）＞0，解得b²＜7，且x1+x2=

8b

7

，x1x2=

4b2-12

7

，2分
∵点O到直线l的距离d=

|b|

2

，BD=

2

(x1+x2)2-4x1x2

=

4 6

7

7-b2

．
∴S△OBD=

1

2

•

|b|

2

•

4 6

7

7-b2

=

2 3

7

b2(7-b2)

≤

3

，2分
（当且仅当b²=7-b²即b2=

7

2

＜7时取到最大值），1分
∴△OBD面积的最大值为

3

．1分．

点评：本题考查圆的方程和椭圆方程的求法，考查三角形面积的最大值的求法，具体涉及到圆的简单性质、椭圆的性质和应用、直线和圆锥曲线的位置关系的应用．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．