Question

（本小题满分12分）
已知函数是定义在上的奇函数，当，（其中是自然对数的底，）
（1）求的解析式；
（2）设，求证：当时，
（3）是否存在实数，使得当时，的最小值是3？如果存在，求出实数的值；如果不存在，请说明理由。

Answer 1

（1）
（2）略
（3）存在实数，使得时，有最小值3

解：（1），则
所以
又因为是定义在上的奇函数，
所以…………2分
故函数的解析式为
……3分
 （2）证明：当

设
因为
所以当时，
此时单调递减…………5分
当，此时单调递增
所以的最小值为
又因为
所以当时，，此时单调递减
所以的最大值为的最小值
所以当时，…………8分
（3）假设存在实数，使得当，时，有最小值为3
则…………9分
① 当时，在区间单调递增，
最小值为，不满足最小值是3
②当在区间上单调递增，的最小值是，也不满足最小值3
③当，
故函数增函数。
所以的最小值为，解得（舍去）
④当时，，此时函数是减函数
当，
此时函数是减函数
所以的最小值为，解得……611分
综上可知，存在实数，使得时，有最小值3…………12分