Question

已知数列{a_n}满足a₁=1，且5a_n+1-2a_na_n+1+3a_n=8（m∈N^*）．
（Ⅰ）求a₂，a₃，a₄的值；
（Ⅱ）猜想{a_n}的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想．

Answer 1

（Ⅰ）∵a₁=1，5a_n+1-2a_na_n+1+3a_n=8，
∴5a₂-2a₁a₂+3a₁=8，
∴3a₂=5，
∴a₂=

5

3

．
同理可得，a₃=

9

5

，a₄=

13

7

；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可猜想，a_n=

4n-3

2n-1

，（n∈N^*）
（Ⅱ）证明：当n=1时，a₁=1，等式成立；
假设n=k时，a_k=

4k-3

2k-1

，
则n=k+1时，由5a_k+1-2a_ka_k+1+3a_k=8得：
a_k+1=

8-3ak

5-2ak

=

8-3× 4k-3 2k-1

5-2× 4k-3 2k-1

=

8(2k-1)-12k+9

5(2k-1)-8k+6

=

4k+1

2k+1

=

4(k+1)-3

2(k+1)-1

，
即n=k+1时，等式也成立；
综上所述，对任意n∈N^*，a_n=

4n-3

2n-1

．