Question

已知椭圆

x2

4

+

y2

2

=1上两个动点P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）且x₁+x₂=2
（1）求证：PQ的垂直平分线过一定点A；
（2）设A关于原点O的对称点为B，求PB的最小值并求P的相应坐标．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：计算题,证明题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）运用点差法，结合直线的斜率公式，以及两直线的垂直条件，求出垂直平分线的方程，即可判断；
（2）设出椭圆的参数方程，运用两点的距离公式，结合三角函数的平方关系，化简整理，配方即可得到最小值和P的坐标．

解答： （1）证明：由题意，得，

x12

4

+

y12

2

=1，

x22

4

+

y22

2

=1，
两式相减得，

(x1-x2)(x1+x2)

4

+

(y1-y2)(y1+y2)

2

=0，
由于x₁+x₂=2，令PQ的中点坐标为（1，y₀），
则有k_PQ=

y1-y2

x1-x2

=-

x1+x2

y1+y2

=-

1

2

•

2

2y0

=-

1

2y0

，
则PQ的垂直平分线为：y-y₀=2y₀（x-1），
即有y=y₀（2x-1），可令2x-1=0，且y=0，
则有PQ的垂直平分线恒过定点A（

1

2

，0）；
（2）A关于原点O的对称点为B（-

1

2

，0），
设椭圆上P（2cosα，

2

sinα），
则|PB|=

(2cosα+ 1 2 )2+2sin2α

=

2cos2α+2cosα+ 9 4

=

2(cosα+ 1 2 )2+ 7 4

，
则当cosα=-

1

2

，即sinα=±

3

2

，则有|PB|取得最小值，且为

7

2

．
此时P（-1，±

6

2

）．

点评：本题考查点差法解决弦的中点问题，考查椭圆的参数方程的运用：求最值，考查三角函数的化简，属于中档题．