Question

7．已知命题p：实数x满足不等式组$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{\frac{1}{3}}x＞-1}\\{{x}^{2}-6x+8＜0}\end{array}\right.$，命题q：实数x满足不等式2x²-9x+a＜0（a∈R）．
（I）解命题p中的不等式组；
（Ⅱ）若p是q的充分条件，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）分别解出关于对数函数、二次函数的不等式，取交集即可；（Ⅱ）根据p是q的充分必要条件，得到关于a的不等式组，解出即可．

解答 解：（Ⅰ）由${log}_{\frac{1}{3}}^{x}$＞-1，解得：0＜x＜3，
由x²-6x+8＜0，解得：2＜x＜4，
综上：2＜x＜3；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：p：2＜x＜3，
命题q：实数x满足不等式2x²-9x+a＜0，
解不等式得：$\frac{a-\sqrt{81-8a}}{4}$＜x＜$\frac{a+\sqrt{81-8a}}{4}$，
由p是q的充分条件，
得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{a-\sqrt{81-8a}}{4}≤2}\\{\frac{a+\sqrt{81-8a}}{4}≥3}\end{array}\right.$，解得：7≤a≤8．

点评 本题考查了解不等式组问题，考查充分必要条件，是一道基础题．