Question

15．已知△ABC其中一条边的两个端点是B（-3，0），C（3，0），另两条边所在直线的斜率之积是$\frac{1}{9}$．
（1）求顶点A的轨迹M的方程；
（2）若直线y=ax+1与（1）中的轨迹M交于P，Q两点，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据题意可分别表示出动点A与两顶点的连线的斜率，根据其之积为$\frac{1}{9}$，求得x和y的关系式得答案；
（2）联立直线y=ax+1与（1）中的轨迹，化为关于x的一元二次方程，由判别式大于0求得实数a的取值范围．

解答 解：（1）设A（x，y），依题意可知$\frac{y}{x+3}•\frac{y}{x-3}=\frac{1}{9}$，
整理得$\frac{{x}^{2}}{9}$-y²=1（y≠0）；
（2）联立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{9}-{y}^{2}=1}\\{y=ax+1}\end{array}\right.$，得（9a²-1）x²+18ax+18=0，
由△=（18a）²-4×18（9a²-1）＞0，解得$-\frac{\sqrt{2}}{3}＜a＜\frac{\sqrt{2}}{3}$．
∵双曲线$\frac{{x}^{2}}{9}$-y²=1不含（-3，0），（3，0），
∴a$≠±\frac{1}{3}$，
∴实数a的取值范围是（$-\frac{\sqrt{2}}{3}，-\frac{1}{3}$）∪（$-\frac{1}{3}，\frac{1}{3}$）∪（$\frac{1}{3}，\frac{\sqrt{2}}{3}$）．

点评 本题主要考查轨迹方程的求法，考查了直线与圆锥曲线的位置关系，是中档题．