Question

已知f（x）=lg，f（1）=0，当x＞0时，恒有f（x）-f（）=lgx．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若方程f（x）=lg（m+x）的解集是∅，求实数m的取值范围．

Answer 1

解：（1）∵当x＞0时，恒有f（x）-f（）=lgx，∴lg-lg =lgx，∴（a-b）x²-（a-b）x=0．
∵x≠0，∴a-b=0，即 a=b．
再由f（1）=0 可得a+b=2，∴a=b=1，
∴f（x）=lg ．
（2）由方程 lg =lg（m+x）可得 ，即 ．
方程f（x）=lg（m+x）的解集是∅，故有两种情况：①方程x²+（m-1）x+m=0无解，
∴△＜0，解得3-2＜m＜3+2．
②方程x²+（m-1）x+m=0有解，且两根都在[-1，0]内，令g（x）=x²+（m-1）x+m，

则有即，无解．
综合①、②，实数m的取值范围是（ ）．
分析：（1）根据 当x＞0时，恒有f（x）-f（）=lgx，可得（a-b）x²-（a-b）x=0，求得 a=b，再由f（1）=0 可得a+b=2，从而求得a，b的值，可得函数的解析式．
（2）由方程 lg =lg（m+x）可得 ．由方程f（x）=lg（m+x）的解集是∅，可得：①方程x²+（m-1）x+m=0无解，即△＜0，
或②方程x²+（m-1）x+m=0有解，且两根都在[-1，0]内．分别求得实数m的取值范围，再取并集，即得所求．
点评：本题主要考查对数型函数的图象和性质的应用，体现了分类讨论和等价转化的数学思想，属于中档题．