Question

（2012•合肥一模）函数f（x）=lnx-ax（a＞0）．
（1）当a=2时，求f（x）的单调区间与极值；
（2）对?x∈（0，+∞），f（x）＜0恒成立，求实数a的范围．

Answer 1

分析：（1）利用导数求函数的单调区间与极值，先求导数，令导数大于0，解得x的范围为函数的增区间，令导数小于0，解得x的范围为函数的减区间．减区间与增区间的分界点为极值点，且当极值点左侧导数为正，右侧导数为负时，为极大值，当极值点左侧导数为负，右侧导数为正时，为极小值．
（2）由条件可得

lnx

x

＜a（x＞0）恒成立，等价于

lnx

x

的最大值＜a，令h（x）=

lnx

x

（x＞0），用导数求出

lnx

x

-x的最大值即可．

解答：解：（1）f（x）的定义域为（0，+∞）．
f′（x）=

1

x

-2=

1-2x

x

，令f′（x）=0，得x=

1

2

，如下表

∴f（x）在（0，

1

2

）上是增函数，在（

1

2

，+∞）上是减函数，
∴f（x）极大值=f（

1

2

）=-ln2-1，无极小值．
（2）由条件可得

lnx

x

＜a（x＞0）恒成立，等价于

lnx

x

的最大值＜a，
令h（x）=

lnx

x

（x＞0），则h′（x）=

1-lnx

x2

，
则当x∈（0，e）时，h′（x）＞0，又当x∈（e，+∞）时，h′（x）＜0，
所以h（x）_max=h（e）=

1

e

，
所以a＞

1

e

．

点评：本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性，及函数的单调性与导数的关系，其中根据已知条件求出导函数是解答本题的关键．