Question

（2012•合肥一模）已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，抛物线：x²=a²y．直线l：x-y-1=0过椭圆的右焦点F且与抛物线相切．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设A，B为抛物线上两个不同的点，l₁，l₂分别与抛物线相切于A，B，l₁，l₂相交于C点，弦AB的中点为D，求证：直线CD与x轴垂直．

Answer 1

分析：（1）求导函数，确定切线的斜率，设切点，利用直线l：x-y-1=0过椭圆的右焦点F且与抛物线相切，即可求得椭圆方程；
（2）设切点坐标，求得抛物线在A、B处的切线方程两式相减，证明x_C=x_D，即可证得直线CD与x轴垂直．

解答：（1）解：由题意，∵x²=a²y，∴y=

x2

a2

，∴y′=

2x

a2

设切点为（x，

x2

a2

），则

2x a2 =1 x2 a2 =x-1

，解得x=2，a²=4
∵直线l：x-y-1=0过椭圆的右焦点F，
∴c=1，可得b²=3
∴椭圆方程为

x2

4

+

y2

3

=1
（2）证明：抛物线方程为：x²=4y，设A（x₁，

x 2 1

4

），B（x₂，

x 2 2

4

）（x₁≠x₂）
抛物线在A处的切线为y=

x1

2

x-

x 2 1

4

，在B处的切线为y=

x2

2

x-

x 2 2

4

两式相减可得

x1

2

x-

x 2 1

4

=

x2

2

x-

x 2 2

4

∴x=

x1+x2

2

，即xC=

x1+x2

2

∵D为AB的中点，∴xD=

x1+x2

2

∴x_C=x_D
∴直线CD与x轴垂直．

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查抛物线的切线，解题的关键是利用导数确定切线的斜率与方程，属于中档题．