Question

如图，已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，以两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形F₁B₁F₂B₂是一个面积为8的正方形（记为Q ）．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设点P是椭圆C的左准线与x轴的交点，过点P的直线l与椭圆C相交于M，N两点、．当线段MN的中点G落在正方形Q内（包括边界）时，求直线L的斜率的取值范围．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（I）设椭圆的标准方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，由于a²=8，b=c，a²=b²+c²，解得即可得出．
（II）椭圆C的左准线方程为x=-4，可得点P的坐标为（-4，0）．由于直线l的斜率k存在，可设直线l的方程为y=k（x+4）．设点M，N的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），线段MN的中点为G（x₀，y₀），直线方程与椭圆方程联立可得（1+2k²）x²+16k²x+32k²-8=0．由△＞0解得-

2

2

＜k＜

2

2

．利用根与系数的关系及其中点坐标公式可得，x0=

x1+x2

2

=

-8k2

1+2k2

，y₀=

4k

1+2k2

．由于x₀≤0，点G不可能在y轴的右边．直线F₁B₂，F₁B₁方程分别为y=x+2，y=-x-2．点G在正方形内（包括边界）的充要条件为

y0≤x0+2 y0≥-x0-2

，解出即可．

解答： 解：（I）设椭圆的标准方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，
∵a²=8，b=c，a²=b²+c²，解得b²=4，
∴椭圆C的标准方程为

x2

8

+

y2

4

=1．
（II）椭圆C的左准线方程为x=-4，∴点P的坐标为（-4，0）．
由于直线l的斜率k存在，可设直线l的方程为y=k（x+4）．
设点M，N的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），线段MN的中点为G（x₀，y₀），联立

y=k(x+4) x2+2y2=8

，
可得（1+2k²）x²+16k²x+32k²-8=0．①
由△=（16k²）²-4（1+2k²）（32k²-8）＞0解得-

2

2

＜k＜

2

2

．②
∴x₁+x₂=

-16k2

1+2k2

，x0=

x1+x2

2

=

-8k2

1+2k2

，y₀=k（x₀+4）=

4k

1+2k2

．
∵x₀≤0，所以点G不可能在y轴的右边．
又直线F₁B₂，F₁B₁方程分别为y=x+2，y=-x-2
∴点G在正方形内（包括边界）的充要条件为

y0≤x0+2 y0≥-x0-2

，
即

4k 1+2k2 ≤ -8k2 1+2k2 +2 4k 1+2k2 ≥ 8k2 1+2k2 -2

化为

2k2+2k-1≤0 2k2-2k-1≤0

，解得-

3 -1

2

≤k≤

3 -1

2

．
满足②．∴直线l的斜率的取值范围是[-

3 -1

2

，

3 -1

2

]．

点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、中点坐标公式、线性规划的有关知识，考查了推理能力与计算能力，属于难题．