Question

已知{a_n}是等差数列，其前n项和为S_n，已知a₃=11，S₉=153，
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设bn=2an，证明：{b_n}是等比数列，并求其前n项和A_n．
（3）设cn=

1

anan+1

，求其前n项和B_n．

Answer 1

分析：（1）依题意，解关于等差数列{a_n}的首项与公差的方程组即可求得a₁与公差d，从而可得数列{a_n}的通项公式；
（2）利用等比数列的定义可证{b_n}是等比数列，利用等比数列的求和公式即可求得其前n项和A_n．
（3）利用裂项法即可求得{

1

anan+1

}前n项和B_n．

解答：解：（1）∵{a_n}是等差数列，a₃=11，S₉=153，
∴9a₅=153，
∴a₅=17，
∴其公差d=

a5-a3

5-3

=3，
∴a_n=a₅+（n-5）×d=17+（n-5）×3=3n+2；
（2）∵b_n=2an，a_n=3n+2，
∴

bn+1

bn

=2an+1-an=2^d=2³=8，且b₁=2⁵=32，
∴{b_n}是以32为首项，8为公比的等比数列，
∴其前n项和A_n=

32

7

（8ⁿ-1）；
（3）∵a_n=3n+2，
∴

1

anan+1

=

1

(3n+2)(3n+5)

=

1

3

（

1

3n+2

-

1

3n+5

），
∴B_n=

1

3

[（

1

5

-

1

8

）+（

1

8

-

1

11

）+…+（

1

3n+2

-

1

3n+5

）]
=

1

3

（

1

5

-

1

3n+5

）
=

n

15n+25

．

点评：本题考查等差数列的通项公式与求和，考查等比数列的判断与求和，突出裂项法求和的考查，属于中档题．