Question

在锐角△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足（2a-c）cosB=bcosC．
（1）求角B的大小；
（2）设

m

=(sinA，1)，

n

=(3，cos2A)，试求

m

•

n

的取值范围．

Answer 1

分析：（1）因为（2a-c）cosB=bcosC，所以（2sinA-sinC）cosB=sinBcosC，由sinA＞0，所以cosB=

1

2

．由此能求出B的大小．
（2）因为

m

=(sinA，1)，

n

=(3，cos2A)，所以

m

•

n

=3sinA+cos2A=-2（sinA-

3

4

）²+

17

8

，由

0°＜A＜90° B=60° 0°＜C＜90°

，得
30°＜A＜90°，从而sinA∈(

1

2

，1)，由此能求出

m

•

n

的取值范围．

解答：解：（1）因为（2a-c）cosB=bcosC，
所以（2sinA-sinC）cosB=sinBcosC，…（3分）
即2sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC=sin（C+B）=sinA．
而sinA＞0，
所以cosB=

1

2

…（6分）
故B=60°…（7分）
（2）因为

m

=(sinA，1)，

n

=(3，cos2A)，
所以

m

•

n

=3sinA+cos2A…（8分）
=3sinA+1-2sin²A=-2（sinA-

3

4

）²+

17

8

…（10分）
由

0°＜A＜90° B=60° 0°＜C＜90°

得

0°＜A＜90° 0°＜120°-A＜90°

，
所以30°＜A＜90°，
从而sinA∈(

1

2

，1)…（12分）
故

m

•

n

的取值范围是(2，

17

8

]．…（14分）

点评：本题考查正弦函数的性质和应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意三角函数恒等式的合理运用．