Question

9．已知函数f（x）的导函数f′（x），满足xf′（x）+2f（x）=$\frac{1}{{x}^{2}}$，且f（1）=1，则函数f（x）的最大值为$\frac{e}{2}$．

Answer 1

分析 根据条件xf'（x）+2f（x）=$\frac{1}{x^2}$构造函数F（x）=x²f（x）-lnx，通过对导数的分析，得出F（x）为常数函数，进而求得f（x）的解析式，再运用导数求该函数的最大值．

解答 解：构造函数F（x）=x²f（x）-lnx，且F（1）=1²f（1）-ln1=1，
则F'（x）=x²f'（x）+2xf（x）-$\frac{1}{x}$=x[xf'（x）+2f（x）-$\frac{1}{x^2}$]，
∵xf'（x）+2f（x）=$\frac{1}{x^2}$，
∴F'（x）=0恒成立，即F（x）为常数函数，
由于F（1）=1，所以F（x）=x²f（x）-lnx=1，
分离f（x）得，f（x）=$\frac{1+lnx}{x^2}$，令f'（x）=-$\frac{1+2lnx}{x^3}$=0，解得x=${e}^{-\frac{1}{2}}$，
且x∈（0，${e}^{-\frac{1}{2}}$），f'（x）＞0，x∈（${e}^{-\frac{1}{2}}$，+∞），f'（x）＜0，
所以，x∈（0，${e}^{-\frac{1}{2}}$）函数递增，（${e}^{-\frac{1}{2}}$，+∞）单调递减，
所以，f（x）_max=f（x）_极大值=f（${e}^{-\frac{1}{2}}$）=$\frac{e}{2}$，
故填：$\frac{e}{2}$．

点评 本题主要考查了导数的运算，并运用导数研究函数的单调性和单调区间，求函数最值，合理构造函数是解决本题的关键，属于难题．