Question

设函数f(x)=sinx-

3

cosx+x+1．
（Ⅰ）求函数f（x）在x=0处的切线方程；
（Ⅱ）记△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，f′（B）=3且a+c=2，求边长b的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）确定切点坐标，求导函数求斜率，即可求得切线方程；
（Ⅱ）先求B，再利用余弦定理，结合基本不等式，即可求得边长b的最小值．

解答：解：（Ⅰ）当x=0时，f（0）=1-

3

，则切点为（0，1-

3

）
∵f′(x)=cosx+

3

sinx+1，∴f′（0）=2
∴函数f（x）在x=0处的切线方程为y-（1-

3

）=2（x-0），即y=2x+（1-

3

）；
（Ⅱ）由（Ⅰ）f′（B）=2sin（B+

π

6

）+1=3，即sin（B+

π

6

）=1，∴B=

π

3

由余弦定理可得b²=a²+c²-2accosB=a²+c²-ac=（a+c）²-3ac=4-3ac≥4-3•(

a+c

2

)2=4-3=1
当且仅当a=c=1时，取等号
∴b²≥1，
∵b＞0，∴b≥1，
∴b_min=1．

点评：本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查余弦定理、基本不等式的运用，属于中档题．