Question

如图所示的几何体中，直线AF⊥平面ABCD，且ABCD为正方形，ADEF为梯形，DE∥AF，又AB=1，AF=2DE=2a．
（Ⅰ）求证：直线CE∥平面ABF；
（Ⅱ）求证：直线BD⊥平面ACF；
（Ⅲ）若直线AE⊥CF，求a的值．

Answer 1

考点：直线与平面垂直的判定,直线与平面平行的判定

专题：证明题,空间位置关系与距离

分析：（I）由AB∥CD，DE∥AF，且AB∩AF=A，CD∩DE=D，可证平面ABF∥平面DCE即可证明CE∥平面ABF．
（II） 先证明AC⊥BD，AF⊥BD，即可证明直线BD⊥平面ACF．
（Ⅲ） 连接 FD，易证明CD⊥AE．又AE⊥CF，可证AE⊥FD．从而可得∠EAD+∠FDA=

π

2

，即有tan∠EAD=

a

1

=

1

tan∠EAD

=

1

2a

，即可解得a的值．

解答： （本小题满分12分）
解：（ I）因为ABCD为正方形，所以AB∥CD．-------------（1分）
又DE∥AF，且AB∩AF=A，CD∩DE=D．
所以平面ABF∥平面DCE．-------------（3分）
而CE?平面EDC，
所以CE∥平面ABF．-------------（4分）
（II） 因为ABCD为正方形，所以AC⊥BD-------------（5分）
因为直线AF⊥平面ABCD，
所以AF⊥BD，-------------（6分）
因为AF∩AC=A，
所以直线BD⊥平面ACF．-------------（8分）
（Ⅲ） 连接 FD．

因为直线AF⊥平面ABCD，
所以AF⊥CD，
又CD⊥AD，AD∩AF=A
所以CD⊥平面ADEF，-------------（9分）
所以CD⊥AE．
又AE⊥CF，FC∩CD=C，
所以AE⊥平面FCD，
所以AE⊥FD．-------------（11分）
所以∠EAD+∠FDA=

π

2

，
所以tan∠EAD=

a

1

=

1

tan∠FDA

=

1

2a

解得a=

2

2

．-------------（12分）．

点评：本题主要考察了直线与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定，考察了转化思想，属于中档题．