Question

已知命题P：函数y=log_a（1-2x）在定义域上单调递增，命题Q：不等式（a-2）x²+2（a-2）x-4＜0对任意实数x恒成立，若P∨Q是真命题，P∧Q是假命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：分别求出P，Q成立的等价条件，利用P∨Q是真命题，P∧Q是假命题，确定实数a的取值范围

解答：解：若函数y=log_a（1-2x）在定义域上单调递增，根据复合函数的单调性可知0＜a＜1，即P：0＜a＜1．
若不等式（a-2）x²+2（a-2）x-4＜0对任意实数x恒成立，
当a=2时，不等式等价为-4＜0，成立．
当a≠0时，要使不等式恒成立，则

a-2＜0 △=4(a-2)2+16(a-2)＜0

，解得-2＜a＜2，
综上：-2＜a≤2，即Q：-2＜a≤2，
若P∨Q是真命题，P∧Q是假命题，
则P，Q一真一假，
若P假Q真，则

a≥1或a≤0 -2＜a≤2

，解得-2＜a≤0或1≤a≤2．
若P真Q假，则

0＜a＜1 a＞2或a≤-2

，此时无解．
综上：实数a的取值范围是-2＜a≤0或1≤a≤2．

点评：本题主要考查复合命题与简单命题之间的真假关系，先求出命题P，Q成立的等价条件是解决本题的关键．