Question

函数f（x）的反函数f-1(x)=

1

2

arcsinx+arctanx，则f（x）的定义域为（　　）

• A．（-π，π）
• B．(-

  3π

  4

  ，

  3π

  4

  )
• C．(-

  3π

  2

  ，

  3π

  2

  )
• D．[-

  π

  2

  ，

  π

  2

  ]

Answer 1

分析：根据互为反函数的两个函数的定义域和值域对调这一性质可知f（x）的定义域即为f（x）的反函数f-1(x)=

1

2

arcsinx+arctanx的值域故只需求出其值域即可．

解答：解：∵y=sinx，x∈[-

π

2

，

π

2

]与y=arcsinx，x∈[-1，1]互为反函数
∴y=

1

2

arcsinx的值域为[-

π

2

，

π

2

]
又∵y=tanx，x∈（-

π

2

，

π

2

）与y=arctanx，x∈R互为反函数
∴y=arctanx的值域为（-

π

2

，

π

2

）
∴f-1(x)=

1

2

arcsinx+arctanx的值域为[-

π

2

，

π

2

]∪（-

π

2

，

π

2

）=[-

π

2

，

π

2

]
∴f（x）的定义域为[-

π

2

，

π

2

]
故选D

点评：本题主要考察了求反函数的定义域．解题的关键是利用反函数的性质：互为反函数的两个函数的定义域和值域对调！