Question

17．在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱与底面垂直，∠BAC=90°，AB=AA₁，点M，N分别为A₁B 和B₁C₁的中点．
（1）证明：A₁M⊥平面MAC；
（2）证明：MN∥平面A₁ACC₁．

Answer 1

分析 （1）证明A₁M⊥MA，AM⊥AC，故可得A₁M⊥平面MAC；
（2）连结AB₁，AC₁，由中位线定理得出MN∥AC₁，故而MN∥平面A₁ACC₁．

解答 证明：（1）由题设知，∵A₁A⊥面ABC，AC?面ABC，∴AC⊥A₁A，
又∵∠BAC=90°，∴AC⊥AB，
∵AA₁?平面AA₁BB₁，AB?平面AA₁BB₁，AA₁∩AB=A，
∴AC⊥平面AA₁BB₁，A₁M?平面AA₁BB₁
∴A₁M⊥AC．
又∵四边形AA₁BB₁为正方形，M为A₁B的中点，∴A₁M⊥MA，
∵AC∩MA=A，AC?平面MAC，MA?平面MAC，∴A₁M⊥平面MAC…（6分）
（2）连接AB₁，AC₁，由题意知，点M，N分别为AB₁和B₁C₁的中点，∴MN∥AC₁．
又MN?平面A₁ACC₁，AC₁?平面A₁ACC₁，∴MN∥平面A₁ACC₁．…（12分）

点评 本题考查了面面垂直，线面平行的判定，属于中档题．