Question

已知两定点E(-2,0),F(2,0),动点P满足，由点P向x轴作垂线段PQ，垂足为Q，点M满足，点M的轨迹为C.

（1）求曲线C的方程

（2）过点D（0，－2）作直线与曲线C交于A、B两点，点N满足

（O为原点），求四边形OANB面积的最大值，并求此时的直线的方程.

 

Answer 1

【答案】

(1) (2) 直线的方程为

【解析】

试题分析：解（1）动点P满足,点P的轨迹是以E F为直径的圆，动点P的轨迹方程为.设M(x,y)是曲线C上任一点，因为PMx轴，，点P的坐标为（x，2y）, 点P在圆上，  ，

曲线C的方程是 .

（2）因为，所以四边形OANB为平行四边形，

当直线的斜率不存在时显然不符合题意；

当直线的斜率存在时，设直线的方程为y=kx-2，与椭圆交于两点，由得

，由，得，即

     10分

令

，，解得,满足,

，（当且仅当时“=”成立），

当平行四边形OANB面积的最大值为2.

所求直线的方程为

考点：圆锥曲线方程的求解和运用

点评：主要是考查了运用代数的方法来通过向量的数量积的公式，以及联立方程组，结合韦达定理来求解，属于中档题。