Question

已知两定点F1(-

2

，0)，F2(

2

，0)，满足条件|

PF2

|-|

PF1

|=2的点P的轨迹是曲线E，直线y=kx-1与曲线E交于A、B两点．
（Ⅰ）求k的取值范围；
（Ⅱ）如果|AB|=6

3

且曲线E上存在点C，使

OA

=

OB

=m

OC

求m的值和△ABC的面积S．

Answer 1

分析：（Ⅰ）首先根据曲线的定义判断出曲线E是双曲线的左支，a和c已知，则可求得b，曲线E的方程可得．设出A，B的坐标，把直线方程与双曲线方程联立消去y，进而根据直线与双曲线左支交于两点A，B，联立不等式求得k的范围．
（Ⅱ）根据弦长公式求得|AB|的表达式，根据结果为6

3

求得k，则直线AB的方程可得，设C（x₀，y₀），根据

OA

=

OB

=m

OC

，可得(mx0，my0)=(

x1+x2

m

，

y1+y2

m

)；根据x₁+x₂和y₁+y₂的值求得C点的坐标，代入双曲线方程求得m的值，进而求得点C到直线AB的距离，最后利用三角形面积公式求得三角形ABC的面积．

解答：解：（Ⅰ）由双曲线的定义可知，曲线E是以F1(-

2

，0)，F2(

2

，0)为焦点的双曲线的左支，
且c=

2

，a=1，易知b=1
故曲线E的方程为x²-y²=1（x＜0）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由题意建立方程组

y=kx-1 x2-y2=1

消去y，得（1-k²）x²+2kx-2=0
又已知直线与双曲线左支交于两点A，B，有

1-k2≠0 △=(2k)2-8(1-k2)＞0 x1+x2= -2k 1-k2 ＜0 x1x2= -2 1-k2 ＞0

解得-

2

＜k＜-1．

（Ⅱ）∵|AB|=

1+k2

•|x1-x2|
=

1+k2

•

(x1+x2)-4x1x2

=

1+k2

•

( -2k 1-k2 )2-4× -2 1-k2

=2

(1+k2)(2-k2) (1-k2)2

依题意得2

(1+k2)(2-k2) (1-k2)2

=6

3

整理后得28k⁴-55k²+25=0
∴k2=

5

7

或k2=

5

4

但-

2

＜k＜-1∴k=-

5

2

故直线AB的方程为

5

2

x+y+1=0
设C（x₀，y₀），由已知

OA

+

OB

=m

OC

，得（x₁，y₁）+（x₂，y₂）=（mx₀，my₀）
∴(mx0，my0)=(

x1+x2

m

，

y1+y2

m

)，（m≠0）
又x1+x2=

2

k2-1

=-4

5

，y1+y2=k(x1+x2)-2=

2k2

k2-1

-2=

2

k2-1

=8
∴点C(

-4 5

m

，

8

m

)
将点C的坐标代入曲线E的方程，得

80

m2

-

64

m2

=1得m=±4，
但当m=-4时，所得的点在双曲线的右支上，不合题意
∴m=4，点C的坐标为(-

5

，2)C到AB的距离为

| 5 2 ×(- 5 )+2+1|

( 5 2 )2+12

=

1

3

∴△ABC的面积S=

1

2

×6

3

×

1

3

=

3

点评：本小题主要考查双曲线的定义和性质、直线与双曲线的关系、点到直线的距离等知识及解析几何的基本思想、方法和综合解决问题的能力．