Question

已知两定点F1(-

2

，0)，F2(

2

，0)，点P是曲线E上任意一点，且满足条件|

PF2

|-|

PF1

|=2．
①求曲线E的轨迹方程；
②若直线y=kx-1与曲线E交于不同两点A，B两点，求k的范围．

Answer 1

分析：①由双曲线的定义可知，曲线E是以F1(-

2

，0)，F2(

2

，0)为焦点的双曲线的左支，由此可求曲线E的方程；
②由题意建立方程组

y=kx-1 x2-y2=1

消去y，得（1-k²）x²+2kx-2=0，根据直线与双曲线左支交于两点A，B，建立不等式组，即可求得k的范围．

解答：解：①由双曲线的定义可知，曲线E是以F1(-

2

，0)，F2(

2

，0)为焦点的双曲线的左支，且c=

2

，a=1，
∴b=

c2-a2

=1
故曲线E的方程为：x²-y²=1（x＜0）
②设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由题意建立方程组

y=kx-1 x2-y2=1

消去y，得（1-k²）x²+2kx-2=0
已知直线与双曲线左支交于两点A，B，有

1-k2≠0 △=4k2+8(1-k2)＞0 x1+x2= -2k 1-k2 ＜0 x1x2= -2 1-k2 ＞0

  解得：-

2

＜k＜-1

点评：本题考查轨迹方程，考查直线与双曲线的位置关系，解题的关键是正确运用双曲线的定义与韦达定理．