Question

已知两定点F1(-

2

，  0)，F2(

2

，  0)，满足条件|

PF2

|-|

PF1

| =2的点P的轨迹是曲线C，直线y=kx-2与曲线C交于A、B两点，且|AB| =

2 5

3

．
（1）求曲线C的方程；
（2）求直线AB的方程；
（3）若曲线C上存在一点D，使

OA

+

OB

=m

OD

，求m的值及点D到直线AB的距离．

Answer 1

分析：（1）通过已知条件，满足双曲线的定义，直接求出曲线C的方程；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用直线与双曲线联立方程组，通过弦长公式求出直线的斜率，即可求直线AB的方程；
（3）求出A，B，利用

OA

+

OB

=m

OD

，即可求m的值，利用点到直线的距离求解点D到直线AB的距离．

解答：解：（1）由双曲线的定义可知曲线C是以F1(-

2

，  0)，F2(

2

，  0)为焦点的双曲线的左半支
且c=

2

，  2a=2，a=1，故b=1，
所以轨迹C的方程是x²-y²=1．（x＜0）
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由题意得方程组

y=kx-2 x2-y2=1

消去y得（1-k²）x²+4kx-5=0
又已知直线与曲线C交于A、B两点，故有

1-k2≠0 △=(4k)2+20(1-k2)＞0 x1+x2= -4k 1-k2 ＜0 x1x2= -5 1-k2 ＞0

解得-

5

＜k＜-1
∵|AB| =

1+k2

|x2-x1| =

1+k2

 • 

( -4k 1-k2 )2+4 •  5 1-k2

=2

(1+k2)(5-k2) (1-k2)2

=

2 5

3

∴

(1+k2)(5-k2)

(1-k2)2

=

5

9

整理得，7k⁴-23k²-20=0
解得 k2=4 或 k2=-

5

7

（舍）
由k²=4，得k=-2，（k=2舍）
于是直线AB的方程为y=-2x-2，即2x+y+2=0．
（3）由

x2-y2=1 2x+y+2=0

，解得

x1=-1 y1=0

   

x2=- 5 3 y2= 4 3

不妨设

OA

=(-1，  0)，  

OB

=(-

5

3

，  

4

3

)，
由

OA

+

OB

=m

OD

，故有

OD

=(-

8

3m

， 

4

3m

)．
将D点坐标代入曲线C的方程，得

64

9m2

-

16

9m2

=1．
解得m=±

4 3

3

，
但当m=-

4 3

3

时，点D在双曲线右支上，不合题意，
∴m=

4 3

3

点D的坐标为(-

2 3

3

，  

3

3

)，
D到线AB的距离为

|- 4 3 3 + 3 3 +2|

5

=

2 5 - 15

5

．

点评：本题考查双曲线的定义的应用，弦长公式的应用，点到直线的距离公式，考查设而不求，考查计算能力．