Question

已知两定点F1(-

2

，0)，F2(

2

，0)，平面上动点P满足|PF₁|-|PF₂|=2．
（Ⅰ）求动点P的轨迹c的方程；
（Ⅱ）过点M（0，1）的直线l与c交于A、B两点，且

MA

=λ

MB

，当

1

3

≤λ≤

1

2

时，求直线l的斜率k的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由|F1F2|=2

2

＞2，知P的轨迹c是以F₁，F₂为焦点，实轴长为2的双曲线的右支，由此能求出轨迹c的方程．
（Ⅱ）设l的方程为y=kx+1，A（x₁，kx₁+1），B（x₂，kx₂+1），则

MA

=(x1，kx1)，

MB

=(x2，kx2)，由

MA

=λ

MB

得：x₁=λx₂；联立

x2-y2=1 y=kx+1

，消去y，整理得：（1-k²）x²-2kx-2=0，由此得

△=4k2+8(1-k2)＞0 x1+x2= 2k 1-k2 ＞0 x1•x2=- 2 1-k2 ＞0

，从而得到k的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）∵|F1F2|=2

2

＞2
∴P的轨迹c是以F₁，F₂为焦点，实轴长为2的双曲线的右支，
∴轨迹c方程为x²-y²=1（x≥1）．                                 （3分）
（Ⅱ）由题意可知l的斜率k存在，且k≠0，±1，
设l的方程为y=kx+1，A（x₁，kx₁+1），B（x₂，kx₂+1），
则

MA

=(x1，kx1)，

MB

=(x2，kx2)，由

MA

=λ

MB

得：x₁=λx₂；         （5分）
联立

x2-y2=1 y=kx+1

，消去y，整理得：（1-k²）x²-2kx-2=0（*）
由x₁，x₂是方程（*）在区间（0，+∞）内的两个不等实根得

△=4k2+8(1-k2)＞0 x1+x2= 2k 1-k2 ＞0 x1•x2=- 2 1-k2 ＞0

，
化简得

k2＜2 k＜0 1＜k2

，即-

2

＜k＜-1；           （8分）
又

x1+x2=(1+λ)x2= 2k 1-k2  &(2) x1x2=λx22= 2 k2-1  & ，&(3)

，
（2）²÷（3）整理可得：k2=1+

2λ

λ2+1

=1+

2

λ+ 1 λ

，（10分）
∵

1

3

≤λ≤

1

2

，由对勾函数的性质可知，在区间[

1

3

，

1

2

]上k²=f（λ）为增函数，
∴f(

1

3

)≤k2≤f(

1

2

)，即

8

5

≤k2≤

9

5

，
综上得-

3 5

5

≤k≤-

2 10

5

．            （13分）

点评：本题考查轨迹方程的求法和直线斜率的取值范围的确定，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化，注意指数函数性质的灵活运用．