Question

关于x的方程x²+（a+1）x+a+b+1=0（a≠0，a、b∈R）的两实数根为x₁、x₂，若0＜x₁＜1＜x₂，则

b

a

的取值范围为

 

．

Answer 1

考点：简单线性规划的应用,根与系数的关系

专题：函数的性质及应用

分析：先利用二次方程根的分布得出关于a，b的约束条件，再根据约束条件画出可行域，设z=

b

a

，再利用z的几何意义求最值，只需求出直线z=

b

a

过可行域内的点A或点C时，z分别、取得最小或最大，从而得到

b

a

的取值范围．

解答： 解：设f（x）=x²+（a+1）x+a+b+1=0，则由题意可得方程f（x）=0的两实根x₁，x₂满足0＜x₁＜1＜x₂的
充要条件是

f(0)=a+b+1＞0 f(1)=2a+b+3＜0 - a+1 2 ＞0

，即

a+b+1＞0 2a+b+3＜0 a＜-1

，画出点（a b）的范围，如图所示：
A（1，0）、B（-2，1）、C（-1，-1）．
而z=

b

a

=

b-0

a-0

 表示可行域内的点（a，b）与原点O（0，0）连线的斜率，
故当直线z=

b

a

经过点B（-2，1）时，z取得最小值为-

1

2

；故当直线z=

b

a

经过点C（-1，-1）时，z取得最大值为1，
故z=

b

a

的范围为[-

1

2

，1]，
故答案为：[-

1

2

，1]．

点评：本小题是一道以二次方程的根的分布为载体的线性规划问题，考查化归转化和数形结合的思想，能力要求较高，属于中档题．