Question

如图，在半径为

3

，圆心角为60°的扇形的弧上任取一点P，作扇形的内接矩形PNMQ，使点Q在OA上，点N，M在OB上，设矩形PNMQ的面积为y，∠POB=θ．
（Ⅰ）将y表示成θ的函数关系式，并写出定义域；
（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若y取最大值时A=θ+

π

12

，且a=

10

，cosB=

2 5

5

，D为AC中点，求BD的值．

Answer 1

考点：函数模型的选择与应用

专题：三角函数的图像与性质,解三角形

分析：（Ⅰ）在Rt△PON中，PN=OPsinθ=

3

sinθ，ON=

3

cosθ．在Rt△OQM中，OM=

QM

tan60°

=sinθ．可得MN=0N-0M=

3

cosθ-sinθ．可得矩形PNMQ的面积y=PN•NM=

3

sinθ(

3

cosθ-sinθ)，再利用倍角公式、两角和差的正弦公式即可得出．
（Ⅱ）当2θ+

π

6

=

π

2

时，y取得最大值，θ=

π

6

．可得A=

π

4

．由cosB=

2 5

5

，可得sinB=

1-cos2B

．由正弦定理可得：b=

asinB

sinA

．利用两角和差的正弦公式可得sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB．由正弦定理可得：c=

asinC

sinA

．在△ABD中，由余弦定理可得：BD²=AB²+AD²-2AB•ADcosA．

解答： 解：（Ⅰ）在Rt△PON中，PN=OPsinθ=

3

sinθ，ON=

3

cosθ．
在Rt△OQM中，OM=

QM

tan60°

=

PN

3

=sinθ．
∴MN=0N-0M=

3

cosθ-sinθ．
∴矩形PNMQ的面积y=PN•NM=

3

sinθ(

3

cosθ-sinθ)=3sinθcosθ-

3

sin2θ
=

3

2

sin2θ-

3 (1-cos2θ)

2

=

3

sin(2θ+

π

6

)-

3

2

，θ∈(0，

π

3

)．

（Ⅱ）当2θ+

π

6

=

π

2

时，y取得最大值，θ=

π

6

．
∴A=

π

6

+

π

12

=

π

4

．
∵cosB=

2 5

5

，∴sinB=

1-cos2B

=

5

5

．
由正弦定理可得：

a

sinA

=

b

sinB

，
∴b=

asinB

sinA

=

10 × 5 5

2 2

=2．
sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=

2

2

×

2 5

5

+

2

2

×

5

5

=

3 10

10

．
由正弦定理可得：

a

sinA

=

c

sinC

，
∴c=

asinC

sinA

=

10 × 3 10 10

2 2

=3

2

．
在△ABD中，由余弦定理可得：BD²=AB²+AD²-2AB•ADcosA
=(3

2

)2+1²-2×3

2

×1×cos

π

4

=13．
∴BD=

13

．
D为AC中点，求BD的值．

点评：本题综合考查了直角三角形的边角关系、倍角公式、两角和差的正弦公式及其单调性、正弦定理余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于难题．