Question

函数f(x)=

ax+b

1+x2

是定义在（-1，1）上的奇函数，且f(

1

2

)=

2

5

（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）判断并证明f（x）在（-1，1）的单调性；
（Ⅲ）求满足f（t-1）+f（t）＜0的t的范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）若奇函数在x=0处有定义，则f（0）=0，代入即可得b，再由f(

1

2

)=

2

5

代入即可得a值；
（Ⅱ）利用单调性定义即可证明；
（Ⅲ）利用函数的单调性和奇偶性将不等式中的f脱去，等价转化为关于t的不等式组，解之即可．

解答：解：（Ⅰ）∵函数f(x)=

ax+b

1+x2

是定义在（-1，1）的奇函数
∴f（0）=0，∴b=0
∵f(

1

2

)=

2

5

．
∴

a× 1 2

1+( 1 2 )2

=

2

5

，∴a=1
∴f(x)=

x

1+x2

；
（Ⅱ）函数f（x）在（-1，1）上为增函数，证明如下
在区间（-1，1）上任取x₁，x₂，令-1＜x₁＜x₂＜1，
∴f（x₁）-f（x₂）=

x1

1+x12

-

x2

1+x22

=

(x1-x2)(1-x1x2)

(1+x12)(1+x22)

；
∵-1＜x₁＜x₂＜1
∴x₁-x₂＜0，1-x₁x₂＞0，1+x₁²＞0，1+x₂²＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）
故函数f（x）在区间（-1，1）上是增函数；
（Ⅲ）∵f（t-1）+f（t）＜0
∴f（t-1）＜-f（t）
∴f（t-1）＜f（-t） 
∵函数f（x）在区间（-1，1）上是增函数
∴

-1＜t-1＜1 -1＜-t＜1 t-1＜-t

∴0＜t＜

1

2

．

点评：本题考查函数奇偶性与单调性的性质应用，着重考查学生理解函数奇偶性与用定义证明单调性及解方程，解不等式组的能力，属于中档题．