Question

已知函数f(x)=

ax，(x＜0) (a-3)x+4a，(x≥0)

满足对任意的实数x₁≠x₂都有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＜0成立，则实数a的取值范围是（　　）

• A．（3，+∞）
• B．（0，1）
• C．(0，

  1

  4

  ]
• D．（1，3）

Answer 1

分析：由题意可知，0＜a＜1，且a-3＜0，且4a≤1，解之即得答案．

解答：解：∵f(x)=

ax(x＜0) (a-3)x+4a(x≥0)

，对任意的实数x₁≠x₂都有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＜0成立，
∴函数f（x）在定义域内单调递减，令g（x）=a^x，依题意，f（0）≤g（0），即4a≤1，
∴

0＜a＜1 a-3＜0 4a≤1

，解得0＜a≤

1

4

．
∴实数a的取值范围是0＜a≤

1

4

．
故选C．

点评：本题考查函数单调性的性质及其应用，理解“对任意的实数x₁≠x₂都有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＜0成立?函数f（x）在定义域内单调递减”是关键，也是难点所在，考查解不等式组的能力，属于中档题．