Question

已知函数f(x)

a-x  ，x≤0 1  ，0＜x≤3 (x-5)2-a，x＞3

（a＞0且a≠1）图象经过点Q（8，6）．
（1）求a的值，并在直线坐标系中画出函数f（x）的大致图象；
（2）求函数f（t）-9的零点；
（3）设q（t）=f（t+1）-f（t）（t∈R），求函数q（t）的单调递增区间．

Answer 1

分析：（1）先由x=8＞3，且点Q在函数图象上得：6=（8-5）²-a，解得a值，最后写出函数表达式画出图象即可．
（2）根据f （x ）=9，得 3^-x=9或（x-5）²-3=9，解此指数方程即得；
（3）先对t进行分类讨论：当t≤-1时，当-1＜t≤0时，当0＜t≤2时，当2＜t≤3时，当3＜t 时，分别讨论其单调性，最后综合上述，函数q （t ） 的单调递增区间是即可．

解答：解：（1）由x=8＞3，且点Q在函数图象上得：
6=（ 8-5 ） ²-a，解得a=3．
得f （ x ）=

3-xx≤0 10＜x≤3 (x-5)2-3x＞3

（2分）
图象如图所示．（2分）
（2）由f （x ）=9，得 3^-x=9或（x-5）²-3=9，
解得：x=-2，或x=5 ±2

3

（负舍去）
得 x=-2，或x=5 +2

3

．（2分）
（3）当t≤-1时，q （t ）=f （t+1 ）-f （ t ）=3^-t-1-3^-t=-

2

3

(

1

3

)t，
此时，q （t ）单调递增；
当-1＜t≤0时，q （t ）=f （t+1 ）-f （ t ）=1-3^-t=1-(

1

3

)t，
此时，q （t ）单调递增；
当0＜t≤2时，q （t ）=f （t+1 ）-f （ t ）=1-1=0，此时，q （t ）是常数函数；
当2＜t≤3时，q （t ）=f （t+1 ）-f （ t ）=（t-4 ）²-4，此时，q （t ）单调递减；
当3＜t 时，q （t ）=f （t+1 ）-f （ t ）=（t-4 ）²-3-（t-5 ）²+3=2t-9，此时，q （t ）单调递增．
综合上述，函数q （t ） 的单调递增区间是（-∞，0]和[3，+∞]．（4分）
注：正确给出递增区间（2分），有说明（2分）．

点评：本小题主要考查函数单调性的应用、函数的零点、函数的单调性及单调区间等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．