Question

已知函数f(x)=a-

1

2x+1

．
（1）求证：不论a为何实数f（x）总是为增函数；
（2）确定a的值，使f（x）为奇函数；
（3）当f（x）为奇函数时，求f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）先设x₁＜x₂，欲证明不论a为何实数f（x）总是为增函数，只须证明：f（x₁）-f（x₂）＜0，即可；
（2）根据f（x）为奇函数，利用定义得出f（-x）=-f（x），从而求得a值即可；
（3）由（2）知f(x)=

1

2

-

1

2x+1

（4），利用指数函数2^x的性质结合不等式的性质即可求得f（x）的值域．

解答：解：（1）∵f（x）的定义域为R，设x₁＜x₂，
则f(x1)-f(x2)=a-

1

2x1+1

-a+

1

2x2+1

=

2x1-2x2

(1+2x1)(1+2x2)

，
∵x₁＜x₂，∴2x1-2x2＜0，(1+2x1)(1+2x2)＞0，∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），所以不论a为何实数f（x）总为增函数．
（2）∵f（x）为奇函数，∴f（-x）=-f（x），即a-

1

2-x+1

=-a+

1

2x+1

，
解得：a=

1

2

．∴f(x)=

1

2

-

1

2x+1

．
（3）由（2）知f(x)=

1

2

-

1

2x+1

（4），∵2^x+1＞1（5），∴0＜

1

2x+1

＜1（6），∴-1＜-

1

2x+1

＜0，∴-

1

2

＜f(x)＜

1

2

所以f（x）的值域为(-

1

2

，

1

2

)．

点评：本小题主要考查函数单调性的应用、函数奇偶性的应用、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力与化归与转化思想．属于基础题．